向量及向量的基本运算

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向量及向量的基本运算 一、教学目标:1.理解向量的有关概念,掌握向量的加法与减法、实数与向量的积、向 教学目标: 量的数量积及其运算法则,理解向量共线的充要条件. 2. 会用向量的代数运算法则、 三角形法则、 平行四边形法则解决有关问题. 不 断培养并深化用数形结合的思想方法解题的自觉意识. 教学重点: 二、教学重点:向量的概念和向量的加法和减法法则. 三、教学过程: 教学过程: (一)主要知识: 1)向量的有关概念 ) ①向量:既有大小又有方向的量。

向量一般用 a , b , c ……来表示,或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示,如: AB 。

向量的大小即向量的模(长度) ,记作| AB |。

v v v r r ②零向量:长度为 0 的向量,记为 0 ,其方向是任意的, 0 与任意向量平行。

<注意与 0 的 注意与 区别> 区别 ③单位向量:模为 1 个单位长度的向量。

④平行向量(共线向量) :方向相同或相反的非零向量。

任意一组平行向量都可以移到同一 r r r 直线上。

相反向量: 我们把与向量 a 长度相等, 方向相反的向量叫做 a 的相反向量。

记作- a 。

⑤相等向量:长度相等且方向相同的向量。

相等向量经过平移后总可以重合,记为 a = b 。

2)向量加法 ) ①求两个向量和的运算叫做向量的加法。

设 AB = a , BC = b ,则 a + b = AB + BC = AC 。

向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则” 。

说明: (1) 0 + a = a + 0 = a ; r r r r r r r r r r r (2)向量加法满足交换律与结合律; 3)向量的减法 向量的减法 r r r ① 相反向量:与 a 长度相等、方向相反的向量,叫做 a 的相反向量。

记作 − a ,零向量的 相反向量仍是零向量。

关于相反向量有: (i)− ( − a ) = a ; r r (ii) a +( − a )=( − a )+ a = 0 ; r r r r r (iii)若 a 、 b 是互为相反向量,则 a = − b , b = − a , a + b = 0 。

②向量减法:向量 a 加上 b 的相反向量叫做 a 与 b 的差,记作: a − b = a + ( −b ) 。

求 两个向量差的运算,叫做向量的减法。

r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r r a − b 的作图法: − b 可以表示为从 b 的终点指向 a 的终点的向量 a 、 有共同起点) a ( b 。

(1)用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的, 注: )用平行四边形法则时,两个已知向量是要共始点的,和向量是始点与已知向量 ( 的始点重合的那条对角线 而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量。

点重合的那条对角线, 的始点重合的那条对角线,而差向量是另一条对角线,方向是从减向量指向被减向量。

(2) 三角形法则的特点是“首尾相接” 由第一个向量的起点指向最后一个向量的 ) 三角形法则的特点是“首尾相接” , 终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。

终点的有向线段就表示这些向量的和;差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点。

4)实数与向量的积 实数与向量的积 r r ①实数λ与向量 a 的积是一个向量,记作λ a ,它的长度与方向规定如下:

r r (Ⅰ) λa = λ ⋅ a ; (Ⅱ)当 λ > 0 时,λ a 的方向与 a 的方向相同;当 λ < 0 时,λ a 的方向与 a 的方向相 反;当 λ = 0 时, λa = 0 ,方向是任意的。

②数乘向量满足交换律、结合律与分配律。

实数与向量的积的运算律:设 λ、μ 为实数, 则 ①λ(μ a )=(λμ) a r r r ②(λ+μ) a =λ a +μ a ③λ( a + b )=λ a +λ b 5)两个向量共线定理 两个向量共线定理 r r r r r r r r r r r r r r 向量 b 与非零向量 a 共线 ⇔ 有且只有一个实数 λ ,使得 b = λa 。

6)平面向量的基本定理 平面向量的基本定理 如果 e1 , e2 是一个平面内的两个不共线向量,那么对这一平面内的任一向量 a ,有且只有一 对实数 λ1 , λ 2 使: a = λ1 e1 + λ 2 e2 其中不共线的向量 e1 , e2 叫做表示这一平面内所有向量的 一组基底。

7)特别注意 特别注意: 特别注意 (1)向量的加法与减法是互逆运算。

(2)相等向量与平行向量有区别,向量平行是向量相等的必要条件。

(3)向量平行与直线平行有区别,直线平行不包括共线(即重合) ,而向量平行则包括共线 (重合)的情况。

(4)向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关,只与其相对位置 有关。

(二)主要方法: 1.充分理解向量的概念和向量的表示; 2.数形结合的方法的应用; 3.用基底向量表示任一向量唯一性; r r r r r r r r r 4.向量的特例 0 和单位向量,要考虑周全. (三)例题分析: 例 1、判断下列各命题是否正确 (1)零向量没有方向 (3)单位向量都相等 (5)两相等向量若共起点,则终点也相同 (7)若 a // b , b // c ,则 a // c (2)若 a = b , 则a = b (4) 向量就是有向线段 (6)若 a = b , b = c ,则 a = c ; (8)若四边形 ABCD 是平行四边形,则 r r r r r r r r r r r r AB = CD, BC = DA (9)已知 A(3,7) ,B(5,2) ,将 AB 按向量 a =(1,2)平移后得到的向量 A′B ′ 的坐标为

(3,-3) (10) a = b 的充要条件是 | a |=| b | 且 a // b ; 解:(1) 不正确,零向量方向任意, (2) 不正确,说明模相等,还有方向 (3) 不正确, 单位向量的模为 1,方向很多 (4) 不正确,有向线段是向量的一种表示形式 (5)正 确, (6)正确,向量相等有传递性 (7)不正确,因若 b = 0 ,则不共线的向量 a, c r r r r r r 也有 a // 0 ,0 // c 。

不正确, 如图 (8) ∵ a =(1,2) ,∴平移公式是  r AB = CD, BC ≠ DA (9) 不正确,  x′ = x + 1 ,将 A(3,7) ,B(5,2)分别代入可求得  y′ = y + 2 A′(4,9), B ′(6,4) ,故 A′B ′ =(6,4)-(4,9)=(2,-5) 。

(10)不正确,当 a // b ,且方向相反时,即使 | a |=| b | ,也不能得到 a = b ; [点评 正确理解向量的有关概念 点评]正确理解向量的有关概念 点评 例 2、如图平行四边形 ABCD 的对角线 OD,AB 相交于点 C,线段 BC 上有一点 M 满足 BC=3BM, 线 段 CD 上 有 一 点 N 满 足 CD = 3CN, 设 r r r r r r OA = a, OB = b,试用a, b表示OM , ON , MN 1 1 1 1 1 BC = BA, ∴ BM = BA = OA − OB = a − b 3 6 6 6 6 1 5 1 4 2 ∴ OM = OB + BM = a + b . Q CN = CD,∴ ON = CD = OD 6 6 3 3 3 2 2 2 1 1 ∴ ON = OD = OA + OB = a + b ∴ MN = ON − OM = a − b 3 3 3 2 6 解:Q BM = ( ) ( ) ( ) ( ) [点评 根据向量的几何加减法则 能对图形中的向量进行互相表示 点评]根据向量的几何加减法则 点评 根据向量的几何加减法则,能对图形中的向量进行互相表示 练 习 : △ ABC 2 中, AD = AB, DE // BC交AC于E , AM是BC边上中线交DE于N . 设 AB = a, AC = b, 3 用 a, b分别表示向量 AE , BC , DE , DN , AM , AN .如图 解: 2 2 1 b, BC = b − a, DE = b − a , DN = b − a 3 3 3 1 1 AM = b + a , AN = b + a 2 3 AE = ( ) ( ) ( ) ( ) 例 3、一条渔船距对岸 4km,以 2km/h 的速度向垂直于对岸的方向划去,到达 对岸时,船的实际航程为 8km ,求河水的流速. 解:设 AB 表示垂直于对岸的速度, BC 表示水流速度,则 AC 为实际速度 航行时间为 4km÷2km/h=2h

在△ABC 中 AB = 2 AC = 4 BC = 2 3 所以, 河水的流速为 2 3km / h [点评 求合力或分力 合速或分速问题用向量解是一种常见问题 要善于运用平行四边形和 点评]求合力或分力 合速或分速问题用向量解是一种常见问题,要善于运用平行四边形和 点评 求合力或分力,合速或分速问题用向量解是一种常见问题 三角形法则 例 4、在△ABC 中,D、E 分别为 AB、AC 的中点,用向量的方法证明: DE 平行且等于 0.5BC 分析:要证明 DE 平行且等于 0.5BC,只要 DE = 解:如图 DE = AE − AD, BC = Ac − AB 又 D,E 为中点 1 BC 2 1 1 AB, AE = AC 2 2 1 1 即 DE = AE − AD = AC − AB = BC 2 2 1 所以 DE 平行且等于 0.5BC 2 ∴ AD = ( ) [点评 几何问题可以转化为向量问题的证明 往往会变的简单明了 点评]几何问题可以转化为向量问题的证明 点评 几何问题可以转化为向量问题的证明,往往会变的简单明了 练习: 已知 G 是△ABC 的重心,求证: GA + GB + GC = 0 证明:以向量 GB, GC 为邻边作平行四边形 GBEC,则 GB + GC = GE = 2GD ,又由 G 为 △ABC 的重心知 AG = 2GD , 从而 GA = −2GD , GA + GB + GC = −2GD + 2GD = 0 。

∴ 例 5、设 e1 , e2 是不共线的向量,已知向量 AB = 2e1 + k e2 , CB = e1 + 3e2 , CD = 2e1 − e2 ,若 A,B,D 三点共线,求 k 的值 分析:使 AB = λ BD 解: BD = CD − CB = e1 − 4e2 , 得 λ = 2, k = −4λ ⇒ k = −8 [点评 共线或平行问题 用向量或坐标平行的充要条件解决 点评]共线或平行问题 点评 共线或平行问题,用向量或坐标平行的充要条件解决 使 AB = λ BD ∴ 2e1 + k e2 = λ (e1 − 4e2 ) r r 例 3. 经过 ∆OAB 重心 G 的直线与 OA, OB 分别交于点 P , Q , uuu r uuu uuur r uuu r 1 1 设 OP = mOA, OQ = nOB , m, n ∈ R ,求 + 的值。

n m uuur 1 r r uuu r uuu r r r uuu r r r 解:设 OA = a, OB = b ,则 OG = (a + b) , PQ = nb − ma 3 uuu uuur uuu r r 1 r 1r PG = OG − OP = ( − m)a + b 3 3 O P • G Q B A

由 P, G , Q 共线,得 r r r 1 r uuu r uuur 1 存在实数 λ ,使得 PQ = λ PG ,即 nb − ma = λ ( − m)a + λ b 3 3 1   − m = λ ( 3 − m) 1 1  从而  ,消去 λ 得: + = 3 n m n = 1 λ  3  (四)巩固练习: 1.已知梯形 ABCD 中,| AB |= 2 | DC | , M , N 分别是 DC 、 AB 的中点,若 AB = e1 , uuu r uuur uuu r r uuur r r r r r uuur uuu uuuu AD = e 2 ,用 e1 , e 2 表示 DC 、 BC 、 MN . D M C ur A uuur 1 uuu e r B N 解: (1) DC = AB = 1 2 2 uuu uuu uuur r r uuu uuur uuur uuur uuu uuur 1 uuu uu 1 ur r r r r (2) BC = BA + AC = − AB + AC = AD + DC − AB = AD − AB = e2 − e1 2 2 uuuu uuuu uuu uuur r r r r r r r 1 uuu uuur 1 uuu 1 uuu uuur 1 ur uu (3) MN = MD + DA + AN = − AB − AD + AB = AB − AD = e1 − e2 4 2 4 4 2 . ( 1 ) 设 两 个 非 零 向 量 e1 、 e2 不 共 线 , 如 果 uuu r ur uu uuu r r ur uu uuu r r ur uu r AB = 2e1 + 3e2 , BC = 6e1 + 23e2 , CD = 4e1 − 8e2 , 求证: A, B, D 三点共线. uuu r ur 1uu uuu ur uu uuu r r 2 r r ur uu r AB = 2e1 + ke2 , CB = e1 + 3e2 , CD = 2e1 − e2 ,若 A, B, D 三点共线,求 k 的值. uuu r ur uu uuu r r ur uu r (1)证明:因为 BC = 6e1 + 23e2 , CD = 4e1 − 8e2 uuu r ur uu r 所以 BD = 10e1 + 15e2 uuu r ur uu r 又因为 AB = 2e1 + 3e2 uuu r uuu r 得 BD = 5 AB uuu uuu r r 即 BD // AB 又因为公共点 B 所以 A, B, D 三点共线; uuu uuu uuu ur uu r r r r ur uu r uu ur r (2)解: DB = CB − CD = e1 + 3e2 − 2e1 + e2 = 4e2 − e1 uuu r ur uu r AB = 2e1 + ke2 因为 A, B, D 共线 uuu uuu r r 所以 AB // DB uuu r uuu r 设 DB = λ AB ( 2 ) 设 e 、 e 是 两 个 不 共 线 的 向 量 , 已 知

所以  λ = 2  1 k = − 2  即k = − 1 ; 2 四、小结: 小结: 1)向量的有关概念: ①向量②零向量③单位向量④平行向量(共线向量)⑤相等向量 2)向量加法减法: 3)实数与向量的积 4)两个向量共线定理 5)平面向量的基本定理, 基底 五、作业: 作业:

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